Derivada de y=ex*cos(4x-1)+tgx

1. diferenciamos $e^{x} \cos{\left(4 x - 1 \right)} + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x - 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 x - 1$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 x - 1\right)$:

         1. diferenciamos $4 x - 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $4$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 4 \sin{\left(4 x - 1 \right)}$

      Como resultado de: $- 4 e^{x} \sin{\left(4 x - 1 \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x - 1 \right)}$

   2. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   3. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - 4 e^{x} \sin{\left(4 x - 1 \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x - 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 4 e^{x} \sin{\left(4 x - 1 \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x - 1 \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1$

Respuesta:

$- 4 e^{x} \sin{\left(4 x - 1 \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x - 1 \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1$