Derivada de √x(sinx+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = t x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $t$

   $g{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $t x \left(2 \sin{\left(x \right)} + 2\right) \cos{\left(x \right)} + t \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right)^{2}$

2. Simplificamos:

   $t \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 1\right)$

Respuesta:

$t \left(\sin{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} + 1\right)$