Derivada de y=sin(5x)*((2x^5)+53x-5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 5 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $5$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \cos{\left(5 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \left(2 x^{5} + 53 x\right) - 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $\left(2 x^{5} + 53 x\right) - 5$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $2 x^{5} + 53 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{5}$ tenemos $5 x^{4}$

            Entonces, como resultado: $10 x^{4}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $53$

         Como resultado de: $10 x^{4} + 53$

      2. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

      Como resultado de: $10 x^{4} + 53$

   Como resultado de: $\left(10 x^{4} + 53\right) \sin{\left(5 x \right)} + 5 \left(\left(2 x^{5} + 53 x\right) - 5\right) \cos{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(10 x^{4} + 53\right) \sin{\left(5 x \right)} + \left(10 x^{5} + 265 x - 25\right) \cos{\left(5 x \right)}$

Respuesta:

$\left(10 x^{4} + 53\right) \sin{\left(5 x \right)} + \left(10 x^{5} + 265 x - 25\right) \cos{\left(5 x \right)}$