Derivada de xlog(exp,x)+x

Solución

Ha introducido [src]

     / x\    
  log\e /    
x*------- + x
   log(x)

$$x \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}} + x$$

x*(log(exp(x))/log(x)) + x

Solución detallada

diferenciamos $x \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}} + x$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x \log{\left(e^{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
    
    $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
    
    $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    $g{\left(x \right)} = \log{\left(e^{x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = e^{x}$ .
    2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{x}$ :
      1. Derivado $e^{x}$ es.
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $1$
    Como resultado de: $x + \log{\left(e^{x} \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2}}$
2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
Como resultado de: $\frac{\left(x + \log{\left(e^{x} \right)}\right) \log{\left(x \right)} - \log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}^{2}} + 1$
Simplificamos:

$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} - \frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} + 1$

Respuesta:

$\frac{2 x}{\log{\left(x \right)}} - \frac{x}{\log{\left(x \right)}^{2}} + 1$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

      /             / x\ \      / x\
      |  1       log\e / |   log\e /
1 + x*|------ - ---------| + -------
      |log(x)        2   |    log(x)
      \         x*log (x)/

$$x \left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}\right) + 1 + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{\log{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

            / x\        / x\            
         log\e /   2*log\e /            
    -2 + ------- + ---------        / x\
            x       x*log(x)   2*log\e /
2 + ------------------------ - ---------
             log(x)             x*log(x)
----------------------------------------
                 log(x)

$$\frac{\frac{-2 + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{x} + \frac{2 \log{\left(e^{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}} + 2 - \frac{2 \log{\left(e^{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)}}}{\log{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                 / x\        / x\
       6      log\e /   6*log\e /
-3 + ------ + ------- - ---------
     log(x)      x           2   
                        x*log (x)
---------------------------------
                 2               
            x*log (x)

$$\frac{-3 + \frac{6}{\log{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(e^{x} \right)}}{x} - \frac{6 \log{\left(e^{x} \right)}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}}{x \log{\left(x \right)}^{2}}$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

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