Derivada de y=(xtgx)/(1+x²)

Solución

Ha introducido [src]

x*tan(x)
--------
      2 
 1 + x

$$\frac{x \tan{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$

(x*tan(x))/(1 + x^2)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \tan{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:
  1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
  2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$
  Como resultado de: $2 x$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- 2 x^{2} \tan{\left(x \right)} + \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x^{3} - \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} - \frac{x^{2} \sin{\left(2 x \right)}}{2} + x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /       2   \               2       
x*\1 + tan (x)/ + tan(x)   2*x *tan(x)
------------------------ - -----------
              2                     2 
         1 + x              /     2\  
                            \1 + x /

$$- \frac{2 x^{2} \tan{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /                                                                          /         2 \       \
  |                                                                          |      4*x  |       |
  |                                                                        x*|-1 + ------|*tan(x)|
  |                                           /  /       2   \         \     |          2|       |
  |       2        /       2   \          2*x*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/     \     1 + x /       |
2*|1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x) - ------------------------------ + ----------------------|
  |                                                        2                            2        |
  \                                                   1 + x                        1 + x         /
--------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   2                                              
                                              1 + x

$$\frac{2 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{2 x \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right)}{x^{2} + 1} + \frac{x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2} + 1}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  /                                                                                              /         2 \                                    /         2 \       \
  |                                                                                              |      4*x  | /  /       2   \         \       2 |      2*x  |       |
  |                                                                                            3*|-1 + ------|*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/   12*x *|-1 + ------|*tan(x)|
  |                                                   /       2        /       2   \       \     |          2|                                    |          2|       |
  |/       2   \ /             /         2   \\   6*x*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/     \     1 + x /                                    \     1 + x /       |
2*|\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + 3*tan (x)// - ------------------------------------------ + ------------------------------------------ - --------------------------|
  |                                                                      2                                            2                                     2         |
  |                                                                 1 + x                                        1 + x                              /     2\          |
  \                                                                                                                                                 \1 + x /          /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                      2                                                                                
                                                                                 1 + x

$$\frac{2 \left(- \frac{12 x^{2} \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \tan{\left(x \right)}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{6 x \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2} + 1} + \left(x \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \tan{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{3 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \tan{\left(x \right)}\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Derivada de y=(xtgx)/(1+x²)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución