Derivada de x*sqrt(x*sqrt(x*(sqrt(x))))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{x \sqrt{\sqrt{x} x}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x \sqrt{\sqrt{x} x}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x \sqrt{\sqrt{x} x}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{x} x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \sqrt{x} x$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x} x$:

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

               $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

               $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

               Como resultado de: $\frac{3 \sqrt{x}}{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$

         Como resultado de: $\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\sqrt{x} x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\sqrt{x} x}}{2 \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} + \sqrt{\sqrt{x} x}\right)}{2 \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}} + \sqrt{x \sqrt{\sqrt{x} x}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{8 \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$

Respuesta:

$\frac{15 x^{\frac{5}{2}}}{8 \sqrt{x \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}} \sqrt{x^{\frac{3}{2}}}}$