Derivada de y=xln((2-x)/(5+x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{2 - x}{x + 5} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{2 - x}{x + 5}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{2 - x}{x + 5}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = 2 - x$ y $g{\left(x \right)} = x + 5$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $2 - x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $-1$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x + 5$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $- \frac{7}{\left(x + 5\right)^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{7}{\left(2 - x\right) \left(x + 5\right)}$

   Como resultado de: $- \frac{7 x}{\left(2 - x\right) \left(x + 5\right)} + \log{\left(\frac{2 - x}{x + 5} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{7 x + \left(x - 2\right) \left(x + 5\right) \log{\left(\frac{2 - x}{x + 5} \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 5\right)}$

Respuesta:

$\frac{7 x + \left(x - 2\right) \left(x + 5\right) \log{\left(\frac{2 - x}{x + 5} \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x + 5\right)}$