Derivada de y=4tan(3x²+1)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(3 x^{2} + 1 \right)} = \frac{\sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{\cos{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x^{2} + 1$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $3 x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $6 x$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $6 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $6 x \cos{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x^{2} + 1$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $3 x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $6 x$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $6 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 6 x \sin{\left(3 x^{2} + 1 \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}$

   Entonces, como resultado: $\frac{4 \left(6 x \sin^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)} + 6 x \cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{24 x}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{24 x}{\cos^{2}{\left(3 x^{2} + 1 \right)}}$