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tan(x)-1/3*tan(x)^(3)+1/5*tan(x)^(5)
Derivada de la función/ tan(x)-1/3*tan(x)^(3)+1/5*tan(x)^(5)

Derivada de tan(x)-1/3*tan(x)^(3)+1/5*tan(x)^(5)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3         5   
         tan (x)   tan (x)
tan(x) - ------- + -------
            3         5
(−tan⁡3(x)3+tan⁡(x))+tan⁡5(x)5\left(- \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right) + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} 
tan(x) - tan(x)^3/3 + tan(x)^5/5
Solución detallada

  1. diferenciamos (−tan⁡3(x)3+tan⁡(x))+tan⁡5(x)5\left(- \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right) + \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} miembro por miembro:

    1. diferenciamos −tan⁡3(x)3+tan⁡(x)- \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Entonces, como resultado: −(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Como resultado de: −(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. ddxtan⁡(x)=1cos⁡2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        5(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: (sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡4(x)cos⁡2(x)−(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))tan⁡2(x)cos⁡2(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    tan⁡4(x)−tan⁡2(x)+1cos⁡2(x)\frac{\tan^{4}{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

tan⁡4(x)−tan⁡2(x)+1cos⁡2(x)\frac{\tan^{4}{\left(x \right)} - \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000000001000000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                 2    /         2   \      4    /         2   \
       2      tan (x)*\3 + 3*tan (x)/   tan (x)*\5 + 5*tan (x)/
1 + tan (x) - ----------------------- + -----------------------
                         3                         5
−(3tan⁡2(x)+3)tan⁡2(x)3+(5tan⁡2(x)+5)tan⁡4(x)5+tan⁡2(x)+1- \frac{\left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 3\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{\left(5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5\right) \tan^{4}{\left(x \right)}}{5} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /       2   \ /   4           2           2    /       2   \\       
2*\1 + tan (x)/*\tan (x) - 2*tan (x) + 2*tan (x)*\1 + tan (x)//*tan(x)
2(tan⁡2(x)+1)(2(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+tan⁡4(x)−2tan⁡2(x))tan⁡(x)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \tan^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan^{2}{\left(x \right)}\right) \tan{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                /                 2                                                                                2                                   \
  /       2   \ |    /       2   \         4           6           2           2    /       2   \     /       2   \     2            4    /       2   \|
2*\1 + tan (x)/*\1 - \1 + tan (x)/  - 2*tan (x) + 2*tan (x) + 3*tan (x) - 7*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 6*\1 + tan (x)/ *tan (x) + 13*tan (x)*\1 + tan (x)//
2(tan⁡2(x)+1)(6(tan⁡2(x)+1)2tan⁡2(x)−(tan⁡2(x)+1)2+13(tan⁡2(x)+1)tan⁡4(x)−7(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+2tan⁡6(x)−2tan⁡4(x)+3tan⁡2(x)+1)2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(x \right)} - \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 13 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{4}{\left(x \right)} - 7 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan^{6}{\left(x \right)} - 2 \tan^{4}{\left(x \right)} + 3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de tan(x)-1/3*tan(x)^(3)+1/5*tan(x)^(5)
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