Derivada de y=x^4sin(4-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 - x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 - x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(4 - x\right)$:

      1. diferenciamos $4 - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \cos{\left(x - 4 \right)}$

   Como resultado de: $- x^{4} \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 x^{3} \sin{\left(4 - x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- x^{3} \left(x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)}\right)$

Respuesta:

$- x^{3} \left(x \cos{\left(x - 4 \right)} + 4 \sin{\left(x - 4 \right)}\right)$