Derivada de y=5sin(x)cos(2x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $5 \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x + 1$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $2 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(2 x + 1 \right)}$

   Como resultado de: $- 10 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x + 1 \right)} + 5 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x + 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{5 \cos{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{15 \cos{\left(3 x + 1 \right)}}{2}$

Respuesta:

$- \frac{5 \cos{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{15 \cos{\left(3 x + 1 \right)}}{2}$