Derivada de y=sin^2x×cos^3x

Solución

Ha introducido [src]

   2       3   
sin (x)*cos (x)

$$\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}$$

sin(x)^2*cos(x)^3

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$
$g{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$ .
2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Como resultado de: $- 3 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$\left(2 - 5 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(2 - 5 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

       2       3           4          
- 3*cos (x)*sin (x) + 2*cos (x)*sin(x)

$$- 3 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/        2       2           2    /   2         2   \        2    /     2           2   \\       
\- 12*cos (x)*sin (x) - 2*cos (x)*\sin (x) - cos (x)/ + 3*sin (x)*\- cos (x) + 2*sin (x)//*cos(x)

$$\left(- 2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} - 12 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/       4           2    /       2           2   \         2    /   2         2   \         2    /     2           2   \\       
\- 8*cos (x) - 3*sin (x)*\- 7*cos (x) + 2*sin (x)/ + 18*cos (x)*\sin (x) - cos (x)/ + 18*cos (x)*\- cos (x) + 2*sin (x)//*sin(x)

$$\left(18 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 3 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - 7 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin^{2}{\left(x \right)} + 18 \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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