Derivada de y=3cos5x+2ctg(x^2)

1. diferenciamos $3 \cos{\left(5 x \right)} + 2 \cot{\left(x^{2} \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- 15 \sin{\left(5 x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(x^{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x^{2} \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(x^{2} \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x^{2} \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(x^{2} \right)} = \frac{\sin{\left(x^{2} \right)}}{\cos{\left(x^{2} \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = x^{2}$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = x^{2}$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{2 x \sin^{2}{\left(x^{2} \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{2 x \sin^{2}{\left(x^{2} \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)} \tan^{2}{\left(x^{2} \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(x^{2} \right)} = \frac{\cos{\left(x^{2} \right)}}{\sin{\left(x^{2} \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x^{2}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 2 x \sin{\left(x^{2} \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x^{2}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- 2 x \sin^{2}{\left(x^{2} \right)} - 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}}{\sin^{2}{\left(x^{2} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{2 \left(2 x \sin^{2}{\left(x^{2} \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)} \tan^{2}{\left(x^{2} \right)}}$

   Como resultado de: $- \frac{2 \left(2 x \sin^{2}{\left(x^{2} \right)} + 2 x \cos^{2}{\left(x^{2} \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x^{2} \right)} \tan^{2}{\left(x^{2} \right)}} - 15 \sin{\left(5 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{4 x}{\sin^{2}{\left(x^{2} \right)}} - 15 \sin{\left(5 x \right)}$

Respuesta:

$- \frac{4 x}{\sin^{2}{\left(x^{2} \right)}} - 15 \sin{\left(5 x \right)}$