Derivada de x-lnx/x+lnx

1. diferenciamos $\left(x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\right) + \log{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x - \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

      Como resultado de: $1 - \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   2. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

   Como resultado de: $1 + \frac{1}{x} - \frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} + x + \log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + x + \log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}$