Derivada de y=1:3tg^3x+tgx+x^2-π:2(x)

1. diferenciamos $- x \frac{\pi}{2} + \left(x^{2} + \left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right)\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x^{2} + \left(\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

            2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{3 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         2. $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

         Como resultado de: $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      Como resultado de: $2 x + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $- \frac{\pi}{2}$

   Como resultado de: $2 x + \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\pi}{2}$

2. Simplificamos:

   $2 x - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$2 x - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{\cos^{4}{\left(x \right)}}$