Derivada de 1-x^2/(x^2+1)^2

1. diferenciamos $- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1$ miembro por miembro:

   1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 1\right)^{2}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de: $2 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 x \left(2 x^{2} + 2\right)$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{- 2 x^{3} \left(2 x^{2} + 2\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{- 2 x^{3} \left(2 x^{2} + 2\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

   Como resultado de: $- \frac{- 2 x^{3} \left(2 x^{2} + 2\right) + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$\frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$