Derivada de x*(exp^(-3x)+2*exp^(2x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(2 e^{5 x} + 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = 2 e^{5 x} + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 e^{5 x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = 5 x$.

            2. Derivado $e^{u}$ es.

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $5$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $5 e^{5 x}$

            Entonces, como resultado: $10 e^{5 x}$

         Como resultado de: $10 e^{5 x}$

      Como resultado de: $10 x e^{5 x} + 2 e^{5 x} + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 e^{3 x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\left(- 3 x \left(2 e^{5 x} + 1\right) e^{3 x} + \left(10 x e^{5 x} + 2 e^{5 x} + 1\right) e^{3 x}\right) e^{- 6 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(4 x e^{5 x} - 3 x + 2 e^{5 x} + 1\right) e^{- 3 x}$

Respuesta:

$\left(4 x e^{5 x} - 3 x + 2 e^{5 x} + 1\right) e^{- 3 x}$