Derivada de y=tan^2(t)+1

1. diferenciamos $\tan^{2}{\left(t \right)} + 1$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(t \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \tan{\left(t \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(t \right)} = \frac{\sin{\left(t \right)}}{\cos{\left(t \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

         $f{\left(t \right)} = \sin{\left(t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} = \cos{\left(t \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = - \sin{\left(t \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \tan{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

   4. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \tan{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 \tan{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \tan{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$