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y=ctg2x(1-cos^4x)
Derivada de la función/ ctg2x/ y=ctg/ cos^4x/ y=ctg2x(1-cos^4x)

Derivada de y=ctg2x(1-cos^4x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         /       4   \
cot(2*x)*\1 - cos (x)/
(1−cos⁡4(x))cot⁡(2x)\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \cot{\left(2 x \right)} 
cot(2*x)*(1 - cos(x)^4)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=cot⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(2 x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(2x)=1tan⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(2 x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(2x)u = \tan{\left(2 x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(2x)\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(2x)=sin⁡(2x)cos⁡(2x)\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)} y g(x)=cos⁡(2x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 22

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x)cos⁡2(2x)\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x)cos⁡2(2x)tan⁡2(2x)- \frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(2x)=cos⁡(2x)sin⁡(2x)\cot{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} y g(x)=sin⁡(2x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡(2x)- 2 \sin{\left(2 x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 22

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −2sin⁡2(2x)−2cos⁡2(2x)sin⁡2(2x)\frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}

    g(x)=1−cos⁡4(x)g{\left(x \right)} = 1 - \cos^{4}{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos 1−cos⁡4(x)1 - \cos^{4}{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u4u^{4} tenemos 4u34 u^{3}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −4sin⁡(x)cos⁡3(x)- 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: 4sin⁡(x)cos⁡3(x)4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

      Como resultado de: 4sin⁡(x)cos⁡3(x)4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}

    Como resultado de: −(1−cos⁡4(x))(2sin⁡2(2x)+2cos⁡2(2x))cos⁡2(2x)tan⁡2(2x)+4sin⁡(x)cos⁡3(x)cot⁡(2x)- \frac{\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(2 x \right)}} + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}

  2. Simplificamos:

    4(1−sin⁡2(x))2−2sin⁡4(x)cos⁡2(x)−92+32cos⁡2(x)4 \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} - \frac{2 \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

Respuesta:

4(1−sin⁡2(x))2−2sin⁡4(x)cos⁡2(x)−92+32cos⁡2(x)4 \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} - \frac{2 \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{9}{2} + \frac{3}{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/       4   \ /          2     \        3                   
\1 - cos (x)/*\-2 - 2*cot (2*x)/ + 4*cos (x)*cot(2*x)*sin(x)
(1−cos⁡4(x))(−2cot⁡2(2x)−2)+4sin⁡(x)cos⁡3(x)cot⁡(2x)\left(1 - \cos^{4}{\left(x \right)}\right) \left(- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2\right) + 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   /   2    /     2           2   \              /       2     \ /        4   \                 3    /       2     \       \
-4*\cos (x)*\- cos (x) + 3*sin (x)/*cot(2*x) + 2*\1 + cot (2*x)/*\-1 + cos (x)/*cot(2*x) + 4*cos (x)*\1 + cot (2*x)/*sin(x)/
−4((3sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡2(x)cot⁡(2x)+2(cos⁡4(x)−1)(cot⁡2(2x)+1)cot⁡(2x)+4(cot⁡2(2x)+1)sin⁡(x)cos⁡3(x))- 4 \left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)} + 2 \left(\cos^{4}{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cot{\left(2 x \right)} + 4 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /  /       2     \ /         2     \ /        4   \        2    /       2     \ /     2           2   \   /       2           2   \                                3    /       2     \                \
8*\2*\1 + cot (2*x)/*\1 + 3*cot (2*x)/*\-1 + cos (x)/ + 3*cos (x)*\1 + cot (2*x)/*\- cos (x) + 3*sin (x)/ + \- 5*cos (x) + 3*sin (x)/*cos(x)*cot(2*x)*sin(x) + 12*cos (x)*\1 + cot (2*x)/*cot(2*x)*sin(x)/
8((3sin⁡2(x)−5cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡(x)cot⁡(2x)+3(3sin⁡2(x)−cos⁡2(x))(cot⁡2(2x)+1)cos⁡2(x)+2(cos⁡4(x)−1)(cot⁡2(2x)+1)(3cot⁡2(2x)+1)+12(cot⁡2(2x)+1)sin⁡(x)cos⁡3(x)cot⁡(2x))8 \left(\left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - 5 \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)} + 3 \left(3 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(x \right)} + 2 \left(\cos^{4}{\left(x \right)} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + 12 \left(\cot^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)} \cot{\left(2 x \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg2x(1-cos^4x)
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