Derivada de y=cos(3x+tgx)

Solución

Ha introducido [src]

cos(3*x + tan(x))

$$\cos{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$$

cos(3*x + tan(x))

Solución detallada

Sustituimos $u = 3 x + \tan{\left(x \right)}$ .
La derivada del coseno es igual a menos el seno:

$\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + \tan{\left(x \right)}\right)$ :
1. diferenciamos $3 x + \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $3$
  2. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
  3. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 3$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$- \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 3\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$
Simplificamos:

$- \left(3 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$

Respuesta:

$- \left(3 + \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 /       2   \                  
-\4 + tan (x)/*sin(3*x + tan(x))

$$- \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

 /             2                                                             \
 |/       2   \                        /       2   \                         |
-\\4 + tan (x)/ *cos(3*x + tan(x)) + 2*\1 + tan (x)/*sin(3*x + tan(x))*tan(x)/

$$- (2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right)^{2} \cos{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)})$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

             3                                    2                                                                                                                       
/       2   \                        /       2   \                           2    /       2   \                       /       2   \ /       2   \                         
\4 + tan (x)/ *sin(3*x + tan(x)) - 2*\1 + tan (x)/ *sin(3*x + tan(x)) - 4*tan (x)*\1 + tan (x)/*sin(3*x + tan(x)) - 6*\1 + tan (x)/*\4 + tan (x)/*cos(3*x + tan(x))*tan(x)

$$- 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)} - 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right) \cos{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} - 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 4\right)^{3} \sin{\left(3 x + \tan{\left(x \right)} \right)}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

Solución