Derivada de x*(-exp(-x)+exp(x))+exp(-x)+exp(x)

1. diferenciamos $\left(x \left(e^{x} - e^{- x}\right) + e^{- x}\right) + e^{x}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x \left(e^{x} - e^{- x}\right) + e^{- x}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x \left(e^{2 x} - 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = e^{2 x} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $e^{2 x} - 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

               2. Sustituimos $u = 2 x$.

               3. Derivado $e^{u}$ es.

               4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $2$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $2 e^{2 x}$

               Como resultado de: $2 e^{2 x}$

            Como resultado de: $2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\left(- x \left(e^{2 x} - 1\right) e^{x} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

      2. Sustituimos $u = - x$.

      3. Derivado $e^{u}$ es.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- e^{- x}$

      Como resultado de: $\left(- x \left(e^{2 x} - 1\right) e^{x} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1\right) e^{x}\right) e^{- 2 x} - e^{- x}$

   2. Derivado $e^{x}$ es.

   Como resultado de: $\left(- x \left(e^{2 x} - 1\right) e^{x} + \left(2 x e^{2 x} + e^{2 x} - 1\right) e^{x}\right) e^{- 2 x} + e^{x} - e^{- x}$

2. Simplificamos:

   $\left(x e^{2 x} + x + 2 e^{2 x} - 2\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(x e^{2 x} + x + 2 e^{2 x} - 2\right) e^{- x}$