Derivada de x*exp(e^x^2sin(x^3+x)-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x\right)$:

      1. diferenciamos $e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x$ miembro por miembro:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = e^{x^{2}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x^{2}$.

            2. Derivado $e^{u}$ es.

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} x^{2}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 x e^{x^{2}}$

            $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{3} + x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = x^{3} + x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x\right)$:

               1. diferenciamos $x^{3} + x$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

                  2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Como resultado de: $3 x^{2} + 1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\left(3 x^{2} + 1\right) \cos{\left(x^{3} + x \right)}$

            Como resultado de: $2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)} - 1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)} - 1\right) e^{e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x}$

   Como resultado de: $x \left(2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)} - 1\right) e^{e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x} + e^{e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} - x}$

2. Simplificamos:

   $\left(x \left(2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)} - 1\right) + 1\right) e^{- x + e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)}}$

Respuesta:

$\left(x \left(2 x e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)} + \left(3 x^{2} + 1\right) e^{x^{2}} \cos{\left(x^{3} + x \right)} - 1\right) + 1\right) e^{- x + e^{x^{2}} \sin{\left(x^{3} + x \right)}}$