Derivada de x*exp(i*x)*(x+i)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{i x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{i x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = i x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} i x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $i$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $i e^{i x}$

      Como resultado de: $i x e^{i x} + e^{i x}$

   $g{\left(x \right)} = \left(x + i\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + i$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + i\right)$:

      1. diferenciamos $x + i$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $i$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x + 2 i$

   Como resultado de: $x \left(2 x + 2 i\right) e^{i x} + \left(x + i\right)^{2} \left(i x e^{i x} + e^{i x}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(x + i\right) \left(2 x + \left(x + i\right) \left(i x + 1\right)\right) e^{i x}$

Respuesta:

$\left(x + i\right) \left(2 x + \left(x + i\right) \left(i x + 1\right)\right) e^{i x}$