Sr Examen

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y=(((x^4+1)/(x^4-1)))^3

Derivada de y=(((x^4+1)/(x^4-1)))^3

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        3
/ 4    \ 
|x  + 1| 
|------| 
| 4    | 
\x  - 1/ 
$$\left(\frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right)^{3}$$
((x^4 + 1)/(x^4 - 1))^3
Solución detallada
  1. Sustituimos .

  2. Según el principio, aplicamos: tenemos

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      y .

      Para calcular :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      Para calcular :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Como resultado de:

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    Como resultado de la secuencia de reglas:

  4. Simplificamos:


Respuesta:

Gráfica
Primera derivada [src]
        3                                   
/ 4    \           /    3        3 / 4    \\
\x  + 1/  / 4    \ |12*x     12*x *\x  + 1/|
---------*\x  - 1/*|------ - --------------|
        3          | 4                 2   |
/ 4    \           |x  - 1     / 4    \    |
\x  - 1/           \           \x  - 1/    /
--------------------------------------------
                    4                       
                   x  + 1                   
$$\frac{\frac{\left(x^{4} + 1\right)^{3}}{\left(x^{4} - 1\right)^{3}} \left(x^{4} - 1\right) \left(\frac{12 x^{3}}{x^{4} - 1} - \frac{12 x^{3} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}}\right)}{x^{4} + 1}$$
Segunda derivada [src]
               /                                                                                                                   /          4\\
               |                                                                                                        4 /     4\ |     1 + x ||
               |                                                                                                 2   4*x *\1 + x /*|1 - -------||
               |           /       /     4\        4       4 /     4\\        /          4\         /          4\                  |          4||
    2 /     4\ |  /     4\ |     3*\1 + x /     8*x     8*x *\1 + x /|      4 |     1 + x |       4 |     1 + x |                  \    -1 + x /|
12*x *\1 + x /*|- \1 + x /*|-3 + ---------- + ------- - -------------| - 4*x *|1 - -------| + 12*x *|1 - -------|  + ---------------------------|
               |           |            4           4              2 |        |          4|         |          4|                    4          |
               |           |      -1 + x      -1 + x      /      4\  |        \    -1 + x /         \    -1 + x /              -1 + x           |
               \           \                              \-1 + x /  /                                                                          /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                             3                                                                   
                                                                    /      4\                                                                    
                                                                    \-1 + x /                                                                    
$$\frac{12 x^{2} \left(x^{4} + 1\right) \left(12 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right)^{2} - 4 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) + \frac{4 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1} - \left(x^{4} + 1\right) \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - \frac{8 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - 3 + \frac{3 \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}$$
Tercera derivada [src]
     /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      2 /       /     4\        4       4 /     4\\                                                     2                                        \
     |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             2 /          4\                                                                                4 /     4\  |     3*\1 + x /     8*x     8*x *\1 + x /|                2 /          4\         /          4\                            /          4\|
     |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   8 /     4\  |     1 + x |                                                                             2*x *\1 + x / *|-3 + ---------- + ------- - -------------|      4 /     4\  |     1 + x |       8 |     1 + x |  /     4\       8 /     4\ |     1 + x ||
     |                     2                                                                                                                                                                                                                          /                      2                                  2\   24*x *\1 + x / *|1 - -------|                                                                                            |            4           4              2 |   6*x *\1 + x / *|1 - -------|   24*x *|1 - -------| *\1 + x /   32*x *\1 + x /*|1 - -------||
     |        /          4\         /          4\             2 /          4        4          8          8 /     4\       4 /     4\\                 /          4\                 /       /     4\        4       4 /     4\\        /          4\ |              /     4\        4 /     4\       4 /     4\ |                   |          4|                 /          4\ /       /     4\        4       4 /     4\\                  |      -1 + x      -1 + x      /      4\  |                  |          4|         |          4|                            |          4||
     |      8 |     1 + x |       8 |     1 + x |     /     4\  |     1 + x     12*x       16*x       16*x *\1 + x /   12*x *\1 + x /|      4 /     4\ |     1 + x |      4 /     4\ |     3*\1 + x /     8*x     8*x *\1 + x /|      4 |     1 + x | |        4   3*\1 + x /    24*x *\1 + x /   16*x *\1 + x / |                   \    -1 + x /      4 /     4\ |     1 + x | |     3*\1 + x /     8*x     8*x *\1 + x /|                  \                              \-1 + x /  /                  \    -1 + x /         \    -1 + x /                            \    -1 + x /|
24*x*|- 24*x *|1 - -------|  - 8*x *|1 - -------| + 3*\1 + x / *|1 - ------- - ------- + ---------- - -------------- + --------------| - 6*x *\1 + x /*|1 - -------| - 2*x *\1 + x /*|-3 + ---------- + ------- - -------------| + 6*x *|1 - -------|*|3 + 11*x  - ----------- - -------------- + ---------------| - ----------------------------- - 6*x *\1 + x /*|1 - -------|*|-3 + ---------- + ------- - -------------| + ---------------------------------------------------------- + ---------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------|
     |        |          4|         |          4|               |          4         4            2              3                2  |                 |          4|                 |            4           4              2 |        |          4| |                    4              4                   2  |                      2                          |          4| |            4           4              2 |                                  4                                             4                               4                              4           |
     |        \    -1 + x /         \    -1 + x /               |    -1 + x    -1 + x    /      4\      /      4\        /      4\   |                 \    -1 + x /                 |      -1 + x      -1 + x      /      4\  |        \    -1 + x / |              -1 + x         -1 + x           /      4\   |             /      4\                           \    -1 + x / |      -1 + x      -1 + x      /      4\  |                            -1 + x                                        -1 + x                          -1 + x                         -1 + x            |
     \                                                          \                        \-1 + x /      \-1 + x /        \-1 + x /   /                                               \                              \-1 + x /  /                      \                                              \-1 + x /   /             \-1 + x /                                         \                              \-1 + x /  /                                                                                                                                                           /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                3                                                                                                                                                                                                                                                                                       
                                                                                                                                                                                                                                                                                       /      4\                                                                                                                                                                                                                                                                                        
                                                                                                                                                                                                                                                                                       \-1 + x /                                                                                                                                                                                                                                                                                        
$$\frac{24 x \left(- 24 x^{8} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right)^{2} + \frac{24 x^{8} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right)^{2} \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1} - 8 x^{8} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) + \frac{32 x^{8} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1} - \frac{24 x^{8} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right)^{2}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - 6 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right) \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - \frac{8 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - 3 + \frac{3 \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) - 6 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right) + 6 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(11 x^{4} - \frac{24 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1} + \frac{16 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)^{2}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + 3 - \frac{3 \left(x^{4} + 1\right)^{2}}{x^{4} - 1}\right) + \frac{6 x^{4} \left(1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right) \left(x^{4} + 1\right)^{2}}{x^{4} - 1} - 2 x^{4} \left(x^{4} + 1\right) \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - \frac{8 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - 3 + \frac{3 \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right) + \frac{2 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)^{2} \left(\frac{8 x^{4}}{x^{4} - 1} - \frac{8 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - 3 + \frac{3 \left(x^{4} + 1\right)}{x^{4} - 1}\right)}{x^{4} - 1} + 3 \left(x^{4} + 1\right)^{2} \left(\frac{16 x^{8}}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} - \frac{16 x^{8} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{3}} - \frac{12 x^{4}}{x^{4} - 1} + \frac{12 x^{4} \left(x^{4} + 1\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{x^{4} + 1}{x^{4} - 1}\right)\right)}{\left(x^{4} - 1\right)^{3}}$$
Gráfico
Derivada de y=(((x^4+1)/(x^4-1)))^3