Derivada de x*log(1/x,e)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(e \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{1}{x}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{x}$

      Como resultado de: $\log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\log{\left(e \right)}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1}{\log{\left(e \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1$

Respuesta:

$\log{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1$