Derivada de y=tg(7x)^2+3x^2+8

1. diferenciamos $\left(3 x^{2} + \tan^{2}{\left(7 x \right)}\right) + 8$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $3 x^{2} + \tan^{2}{\left(7 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = \tan{\left(7 x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(7 x \right)}$:

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\tan{\left(7 x \right)} = \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{\cos{\left(7 x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 7 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $7 \cos{\left(7 x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 7 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{2 \left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \tan{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

      4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Entonces, como resultado: $6 x$

      Como resultado de: $6 x + \frac{2 \left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \tan{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

   2. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

   Como resultado de: $6 x + \frac{2 \left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \tan{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $6 x + \frac{14 \sin{\left(7 x \right)}}{\cos^{3}{\left(7 x \right)}}$

Respuesta:

$6 x + \frac{14 \sin{\left(7 x \right)}}{\cos^{3}{\left(7 x \right)}}$