Sr Examen

Derivada de y=tg3x/x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
tan(3*x)
--------
   x    
tan(3x)x\frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x}
tan(3*x)/x
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=tan(3x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(3 x \right)} y g(x)=xg{\left(x \right)} = x.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan(3x)=sin(3x)cos(3x)\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin(3x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)} y g(x)=cos(3x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        3cos(3x)3 \cos{\left(3 x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=3xu = 3 x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx3x\frac{d}{d x} 3 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        3sin(3x)- 3 \sin{\left(3 x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      3sin2(3x)+3cos2(3x)cos2(3x)\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x(3sin2(3x)+3cos2(3x))cos2(3x)tan(3x)x2\frac{\frac{x \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} - \tan{\left(3 x \right)}}{x^{2}}

  2. Simplificamos:

    6xsin(6x)x2(cos(6x)+1)\frac{6 x - \sin{\left(6 x \right)}}{x^{2} \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)}


Respuesta:

6xsin(6x)x2(cos(6x)+1)\frac{6 x - \sin{\left(6 x \right)}}{x^{2} \left(\cos{\left(6 x \right)} + 1\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Primera derivada [src]
         2                
3 + 3*tan (3*x)   tan(3*x)
--------------- - --------
       x              2   
                     x    
3tan2(3x)+3xtan(3x)x2\frac{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3}{x} - \frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x^{2}}
Segunda derivada [src]
  /             /       2     \                             \
  |tan(3*x)   3*\1 + tan (3*x)/     /       2     \         |
2*|-------- - ----------------- + 9*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)|
  |    2              x                                     |
  \   x                                                     /
-------------------------------------------------------------
                              x                              
2(9(tan2(3x)+1)tan(3x)3(tan2(3x)+1)x+tan(3x)x2)x\frac{2 \left(9 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}
Tercera derivada [src]
  /               /       2     \                                           /       2     \         \
  |  tan(3*x)   3*\1 + tan (3*x)/     /       2     \ /         2     \   9*\1 + tan (3*x)/*tan(3*x)|
6*|- -------- + ----------------- + 9*\1 + tan (3*x)/*\1 + 3*tan (3*x)/ - --------------------------|
  |      3               2                                                            x             |
  \     x               x                                                                           /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  x                                                  
6(9(tan2(3x)+1)(3tan2(3x)+1)9(tan2(3x)+1)tan(3x)x+3(tan2(3x)+1)x2tan(3x)x3)x\frac{6 \left(9 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) - \frac{9 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right) \tan{\left(3 x \right)}}{x} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(3 x \right)} + 1\right)}{x^{2}} - \frac{\tan{\left(3 x \right)}}{x^{3}}\right)}{x}
Gráfico
Derivada de y=tg3x/x