Derivada de y=cbrt(1+x*sqrt(x+3))

1. Sustituimos $u = x \sqrt{x + 3} + 1$.

2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{u}$ tenemos $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)$:

   1. diferenciamos $x \sqrt{x + 3} + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 3}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 3$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 3\right)$:

            1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

         Como resultado de: $\frac{x}{2 \sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 3}$

      Como resultado de: $\frac{x}{2 \sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 3}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{\frac{x}{2 \sqrt{x + 3}} + \sqrt{x + 3}}{3 \left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{x + 2}{2 \sqrt{x + 3} \left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{x + 2}{2 \sqrt{x + 3} \left(x \sqrt{x + 3} + 1\right)^{\frac{2}{3}}}$