Derivada de y=sin7(x)cos7x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{7}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{7}$ tenemos $7 u^{6}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 7 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $7$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

   Como resultado de: $- 7 \sin^{7}{\left(x \right)} \sin{\left(7 x \right)} + 7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(8 x \right)}$

Respuesta:

$7 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(8 x \right)}$