Derivada de y=(3x)(1/2)(x^2+1)^-1/2-(x^2+1)^1/2(3)

1. diferenciamos $\frac{\frac{1}{2} \cdot 3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 3 \sqrt{x^{2} + 1}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 3 x$ y $g{\left(x \right)} = 2 \sqrt{x^{2} + 1}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $3$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

            1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Como resultado de: $2 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 6 \sqrt{x^{2} + 1}}{4 x^{2} + 4}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = x^{2} + 1$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 1$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            Como resultado de: $2 x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   Como resultado de: $- \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{- \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 6 \sqrt{x^{2} + 1}}{4 x^{2} + 4}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \left(- 2 x \left(x^{2} + 1\right) + 1\right)}{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(- 2 x \left(x^{2} + 1\right) + 1\right)}{2 \left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$