Derivada de y=(ctg(3t))/tg(t)

Solución

Ha introducido [src]

cot(3*t)
--------
 tan(t)

$$\frac{\cot{\left(3 t \right)}}{\tan{\left(t \right)}}$$

cot(3*t)/tan(t)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

$f{\left(t \right)} = \cot{\left(3 t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \tan{\left(t \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(3 t \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 t \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(3 t \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \tan{\left(3 t \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(3 t \right)} = \frac{\sin{\left(3 t \right)}}{\cos{\left(3 t \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$
      
      $f{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(3 t \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 3 t$ .
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $3$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $3 \cos{\left(3 t \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$ :
      
      Sustituimos $u = 3 t$ .
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      
      Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $3$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 3 \sin{\left(3 t \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}}{\cos^{2}{\left(3 t \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}}{\cos^{2}{\left(3 t \right)} \tan^{2}{\left(3 t \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(3 t \right)} = \frac{\cos{\left(3 t \right)}}{\sin{\left(3 t \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$
    
    $f{\left(t \right)} = \cos{\left(3 t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 3 t$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $3$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- 3 \sin{\left(3 t \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 3 t$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$
      
      Entonces, como resultado: $3$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $3 \cos{\left(3 t \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}}{\sin^{2}{\left(3 t \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$ :
1. $\frac{d}{d t} \tan{\left(t \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(t \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- \frac{\left(\sin^{2}{\left(t \right)} + \cos^{2}{\left(t \right)}\right) \cot{\left(3 t \right)}}{\cos^{2}{\left(t \right)}} - \frac{\left(3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}\right) \tan{\left(t \right)}}{\cos^{2}{\left(3 t \right)} \tan^{2}{\left(3 t \right)}}}{\tan^{2}{\left(t \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{3}{\sin^{2}{\left(3 t \right)} \tan{\left(t \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(t \right)} \tan{\left(3 t \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{3}{\sin^{2}{\left(3 t \right)} \tan{\left(t \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(t \right)} \tan{\left(3 t \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

          2        /        2   \         
-3 - 3*cot (3*t)   \-1 - tan (t)/*cot(3*t)
---------------- + -----------------------
     tan(t)                   2           
                           tan (t)

$$\frac{\left(- \tan^{2}{\left(t \right)} - 1\right) \cot{\left(3 t \right)}}{\tan^{2}{\left(t \right)}} + \frac{- 3 \cot^{2}{\left(3 t \right)} - 3}{\tan{\left(t \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /                                           /            2   \              /       2     \ /       2   \\
  |  /       2     \            /       2   \ |     1 + tan (t)|            3*\1 + cot (3*t)/*\1 + tan (t)/|
2*|9*\1 + cot (3*t)/*cot(3*t) + \1 + tan (t)/*|-1 + -----------|*cot(3*t) + -------------------------------|
  |                                           |          2     |                         tan(t)            |
  \                                           \       tan (t)  /                                           /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   tan(t)

$$\frac{2 \left(\left(\frac{\tan^{2}{\left(t \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(t \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right) \cot{\left(3 t \right)} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right)}{\tan{\left(t \right)}} + 9 \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right) \cot{\left(3 t \right)}\right)}{\tan{\left(t \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

   /                                                                                                                                        /            2   \                                            \
   |                                                                                                          /       2     \ /       2   \ |     1 + tan (t)|                                            |
   |/                               2                  3\                                                   9*\1 + cot (3*t)/*\1 + tan (t)/*|-1 + -----------|                                            |
   ||                  /       2   \      /       2   \ |               /       2     \ /         2     \                                   |          2     |      /       2     \ /       2   \         |
   ||         2      5*\1 + tan (t)/    3*\1 + tan (t)/ |            27*\1 + cot (3*t)/*\1 + 3*cot (3*t)/                                   \       tan (t)  /   27*\1 + cot (3*t)/*\1 + tan (t)/*cot(3*t)|
-2*||2 + 2*tan (t) - ---------------- + ----------------|*cot(3*t) + ------------------------------------ + -------------------------------------------------- + -----------------------------------------|
   ||                       2                  4        |                           tan(t)                                        tan(t)                                             2                    |
   \\                    tan (t)            tan (t)     /                                                                                                                         tan (t)                 /

$$- 2 \left(\frac{9 \left(\frac{\tan^{2}{\left(t \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(t \right)}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right)}{\tan{\left(t \right)}} + \frac{27 \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right) \cot{\left(3 t \right)}}{\tan^{2}{\left(t \right)}} + \frac{27 \left(\cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(3 t \right)} + 1\right)}{\tan{\left(t \right)}} + \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left(t \right)}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left(t \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(t \right)} + 2\right) \cot{\left(3 t \right)}\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=(ctg(3t))/tg(t)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2