Derivada de y=tg2x+2/3tg3x+1/5tg5x

1. diferenciamos $\left(\tan{\left(2 x \right)} + \frac{2 \tan{\left(3 x \right)}}{3}\right) + \frac{\tan{\left(5 x \right)}}{5}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\tan{\left(2 x \right)} + \frac{2 \tan{\left(3 x \right)}}{3}$ miembro por miembro:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{3}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

         Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}{3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}{3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{5}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right)}{3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{5 \sin^{2}{\left(5 x \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}{5 \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{2}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{2}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}} + \frac{2}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$