Derivada de y=e^(-5*x)*sin(7*x+8)-1

1. diferenciamos $-1 + e^{- 5 x} \sin{\left(7 x + 8 \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x + 8 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x + 8$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(7 x + 8\right)$:

         1. diferenciamos $7 x + 8$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $7$

            2. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

            Como resultado de: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $7 \cos{\left(7 x + 8 \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 e^{5 x}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\left(- 5 e^{5 x} \sin{\left(7 x + 8 \right)} + 7 e^{5 x} \cos{\left(7 x + 8 \right)}\right) e^{- 10 x}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\left(- 5 e^{5 x} \sin{\left(7 x + 8 \right)} + 7 e^{5 x} \cos{\left(7 x + 8 \right)}\right) e^{- 10 x}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 5 \sin{\left(7 x + 8 \right)} + 7 \cos{\left(7 x + 8 \right)}\right) e^{- 5 x}$

Respuesta:

$\left(- 5 \sin{\left(7 x + 8 \right)} + 7 \cos{\left(7 x + 8 \right)}\right) e^{- 5 x}$