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((z-2i)^2)/(z^2+4)^2

Derivada de ((z-2i)^2)/(z^2+4)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         2
(z - 2*I) 
----------
        2 
/ 2    \  
\z  + 4/  
(z2i)2(z2+4)2\frac{\left(z - 2 i\right)^{2}}{\left(z^{2} + 4\right)^{2}}
(z - 2*i)^2/(z^2 + 4)^2
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=(z2i)2f{\left(z \right)} = \left(z - 2 i\right)^{2} y g(z)=(z2+4)2g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 4\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z2iu = z - 2 i.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z2i)\frac{d}{d z} \left(z - 2 i\right):

      1. diferenciamos z2iz - 2 i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante 2i- 2 i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z4i2 z - 4 i

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z2+4u = z^{2} + 4.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z2+4)\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 4\right):

      1. diferenciamos z2+4z^{2} + 4 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

        Como resultado de: 2z2 z

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z(2z2+8)2 z \left(2 z^{2} + 8\right)

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    2z(z2i)2(2z2+8)+(2z4i)(z2+4)2(z2+4)4\frac{- 2 z \left(z - 2 i\right)^{2} \left(2 z^{2} + 8\right) + \left(2 z - 4 i\right) \left(z^{2} + 4\right)^{2}}{\left(z^{2} + 4\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    2(z2i)(z22z(z2i)+4)(z2+4)3\frac{2 \left(z - 2 i\right) \left(z^{2} - 2 z \left(z - 2 i\right) + 4\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}}


Respuesta:

2(z2i)(z22z(z2i)+4)(z2+4)3\frac{2 \left(z - 2 i\right) \left(z^{2} - 2 z \left(z - 2 i\right) + 4\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Primera derivada [src]
                          2
-4*I + 2*z   4*z*(z - 2*I) 
---------- - --------------
        2              3   
/ 2    \       / 2    \    
\z  + 4/       \z  + 4/    
4z(z2i)2(z2+4)3+2z4i(z2+4)2- \frac{4 z \left(z - 2 i\right)^{2}}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}} + \frac{2 z - 4 i}{\left(z^{2} + 4\right)^{2}}
Segunda derivada [src]
  /                                 /         2 \\
  |                               2 |      6*z  ||
  |                    2*(z - 2*I) *|-1 + ------||
  |                                 |          2||
  |    8*z*(z - 2*I)                \     4 + z /|
2*|1 - ------------- + --------------------------|
  |             2                     2          |
  \        4 + z                 4 + z           /
--------------------------------------------------
                            2                     
                    /     2\                      
                    \4 + z /                      
2(8z(z2i)z2+4+2(z2i)2(6z2z2+41)z2+4+1)(z2+4)2\frac{2 \left(- \frac{8 z \left(z - 2 i\right)}{z^{2} + 4} + \frac{2 \left(z - 2 i\right)^{2} \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 4} - 1\right)}{z^{2} + 4} + 1\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{2}}
Tercera derivada [src]
   /                                            /         2 \\
   |                                          2 |      8*z  ||
   |                               z*(z - 2*I) *|-3 + ------||
   |     /         2 \                          |          2||
   |     |      6*z  |                          \     4 + z /|
24*|-z + |-1 + ------|*(z - 2*I) - --------------------------|
   |     |          2|                            2          |
   \     \     4 + z /                       4 + z           /
--------------------------------------------------------------
                                  3                           
                          /     2\                            
                          \4 + z /                            
24(z(z2i)2(8z2z2+43)z2+4z+(z2i)(6z2z2+41))(z2+4)3\frac{24 \left(- \frac{z \left(z - 2 i\right)^{2} \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 4} - 3\right)}{z^{2} + 4} - z + \left(z - 2 i\right) \left(\frac{6 z^{2}}{z^{2} + 4} - 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 4\right)^{3}}
Gráfico
Derivada de ((z-2i)^2)/(z^2+4)^2