Sr Examen

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y=tan(5x^3+x)ln(sin(2x))
Derivada de la función/ x^3+x/ y=tan/ sin(2x)/ y=tan(5x^3+x)ln(sin(2x))

Derivada de y=tan(5x^3+x)ln(sin(2x))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   3    \              
tan\5*x  + x/*log(sin(2*x))
log⁡(sin⁡(2x))tan⁡(5x3+x)\log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \tan{\left(5 x^{3} + x \right)} 
tan(5*x^3 + x)*log(sin(2*x))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=tan⁡(5x3+x)f{\left(x \right)} = \tan{\left(5 x^{3} + x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(5x3+x)=sin⁡(5x3+x)cos⁡(5x3+x)\tan{\left(5 x^{3} + x \right)} = \frac{\sin{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\cos{\left(5 x^{3} + x \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(5x3+x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x^{3} + x \right)} y g(x)=cos⁡(5x3+x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x^{3} + x \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=5x3+xu = 5 x^{3} + x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(5x3+x)\frac{d}{d x} \left(5 x^{3} + x\right):

        1. diferenciamos 5x3+x5 x^{3} + x miembro por miembro:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

            Entonces, como resultado: 15x215 x^{2}

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 15x2+115 x^{2} + 1

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        (15x2+1)cos⁡(5x3+x)\left(15 x^{2} + 1\right) \cos{\left(5 x^{3} + x \right)}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=5x3+xu = 5 x^{3} + x.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(5x3+x)\frac{d}{d x} \left(5 x^{3} + x\right):

        1. diferenciamos 5x3+x5 x^{3} + x miembro por miembro:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

            Entonces, como resultado: 15x215 x^{2}

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 15x2+115 x^{2} + 1

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −(15x2+1)sin⁡(5x3+x)- \left(15 x^{2} + 1\right) \sin{\left(5 x^{3} + x \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      (15x2+1)sin⁡2(5x3+x)+(15x2+1)cos⁡2(5x3+x)cos⁡2(5x3+x)\frac{\left(15 x^{2} + 1\right) \sin^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)} + \left(15 x^{2} + 1\right) \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}}

    g(x)=log⁡(sin⁡(2x))g{\left(x \right)} = \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxsin⁡(2x)\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)}:

      1. Sustituimos u=2xu = 2 x.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx2x\frac{d}{d x} 2 x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 22

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2cos⁡(2x)2 \cos{\left(2 x \right)}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2cos⁡(2x)sin⁡(2x)\frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

    Como resultado de: ((15x2+1)sin⁡2(5x3+x)+(15x2+1)cos⁡2(5x3+x))log⁡(sin⁡(2x))cos⁡2(5x3+x)+2cos⁡(2x)tan⁡(5x3+x)sin⁡(2x)\frac{\left(\left(15 x^{2} + 1\right) \sin^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)} + \left(15 x^{2} + 1\right) \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}

  2. Simplificamos:

    (15x2+1)log⁡(sin⁡(2x))sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)cos⁡2(5x3+x)tan⁡(5x3+x)sin⁡(2x)cos⁡2(5x3+x)\frac{\left(15 x^{2} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)} \tan{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}}

Respuesta:

(15x2+1)log⁡(sin⁡(2x))sin⁡(2x)+2cos⁡(2x)cos⁡2(5x3+x)tan⁡(5x3+x)sin⁡(2x)cos⁡2(5x3+x)\frac{\left(15 x^{2} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)} \tan{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-10000050000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                                               /   3    \
/       2/   3    \\ /        2\                 2*cos(2*x)*tan\5*x  + x/
\1 + tan \5*x  + x//*\1 + 15*x /*log(sin(2*x)) + ------------------------
                                                         sin(2*x)
(15x2+1)(tan⁡2(5x3+x)+1)log⁡(sin⁡(2x))+2cos⁡(2x)tan⁡(5x3+x)sin⁡(2x)\left(15 x^{2} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(5 x^{3} + x \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(5 x^{3} + x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /    /       2     \                                              /                  2                  \                   /       2/  /       2\\\ /        2\         \
  |    |    cos (2*x)|    /  /       2\\   /       2/  /       2\\\ |       /        2\     /  /       2\\|                 2*\1 + tan \x*\1 + 5*x ///*\1 + 15*x /*cos(2*x)|
2*|- 2*|1 + ---------|*tan\x*\1 + 5*x // + \1 + tan \x*\1 + 5*x ///*\15*x + \1 + 15*x / *tan\x*\1 + 5*x ///*log(sin(2*x)) + -----------------------------------------------|
  |    |       2     |                                                                                                                          sin(2*x)                   |
  \    \    sin (2*x)/                                                                                                                                                     /
2(−2(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))tan⁡(x(5x2+1))+(15x+(15x2+1)2tan⁡(x(5x2+1)))(tan⁡2(x(5x2+1))+1)log⁡(sin⁡(2x))+2(15x2+1)(tan⁡2(x(5x2+1))+1)cos⁡(2x)sin⁡(2x))2 \left(- 2 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \tan{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + \left(15 x + \left(15 x^{2} + 1\right)^{2} \tan{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)} + \frac{2 \left(15 x^{2} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          /       2     \                           \
  |                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          |    cos (2*x)|             /  /       2\\|
  |                                                                                                                                                                                                                                                                                                     /                  2                  \            8*|1 + ---------|*cos(2*x)*tan\x*\1 + 5*x //|
  |/                                                     2            3                3                                                                                                          \                                                        /       2     \     /       2/  /       2\\\ |       /        2\     /  /       2\\|              |       2     |                           |
  ||           2/  /       2\\   /       2/  /       2\\\  /        2\      /        2\     2/  /       2\\ /       2/  /       2\\\        /       2/  /       2\\\ /        2\    /  /       2\\|                   /       2/  /       2\\\ /        2\ |    cos (2*x)|   6*\1 + tan \x*\1 + 5*x ///*\15*x + \1 + 15*x / *tan\x*\1 + 5*x ///*cos(2*x)     \    sin (2*x)/                           |
2*|\15 + 15*tan \x*\1 + 5*x // + \1 + tan \x*\1 + 5*x /// *\1 + 15*x /  + 2*\1 + 15*x / *tan \x*\1 + 5*x //*\1 + tan \x*\1 + 5*x /// + 90*x*\1 + tan \x*\1 + 5*x ///*\1 + 15*x /*tan\x*\1 + 5*x ///*log(sin(2*x)) - 6*\1 + tan \x*\1 + 5*x ///*\1 + 15*x /*|1 + ---------| + --------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------|
  |                                                                                                                                                                                                                                                        |       2     |                                     sin(2*x)                                                      sin(2*x)                  |
  \                                                                                                                                                                                                                                                        \    sin (2*x)/                                                                                                                             /
2(−6(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))(15x2+1)(tan⁡2(x(5x2+1))+1)+8(1+cos⁡2(2x)sin⁡2(2x))cos⁡(2x)tan⁡(x(5x2+1))sin⁡(2x)+6(15x+(15x2+1)2tan⁡(x(5x2+1)))(tan⁡2(x(5x2+1))+1)cos⁡(2x)sin⁡(2x)+(90x(15x2+1)(tan⁡2(x(5x2+1))+1)tan⁡(x(5x2+1))+(15x2+1)3(tan⁡2(x(5x2+1))+1)2+2(15x2+1)3(tan⁡2(x(5x2+1))+1)tan⁡2(x(5x2+1))+15tan⁡2(x(5x2+1))+15)log⁡(sin⁡(2x)))2 \left(- 6 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \left(15 x^{2} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) + \frac{8 \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}\right) \cos{\left(2 x \right)} \tan{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + \frac{6 \left(15 x + \left(15 x^{2} + 1\right)^{2} \tan{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) \cos{\left(2 x \right)}}{\sin{\left(2 x \right)}} + \left(90 x \left(15 x^{2} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) \tan{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + \left(15 x^{2} + 1\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(15 x^{2} + 1\right)^{3} \left(\tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 15 \tan^{2}{\left(x \left(5 x^{2} + 1\right) \right)} + 15\right) \log{\left(\sin{\left(2 x \right)} \right)}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=tan(5x^3+x)ln(sin(2x))
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