Sr Examen

Derivada de tan(e^x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   / x\
tan\E /
tan(ex)\tan{\left(e^{x} \right)}
tan(E^x)
Solución detallada
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

    tan(ex)=sin(ex)cos(ex)\tan{\left(e^{x} \right)} = \frac{\sin{\left(e^{x} \right)}}{\cos{\left(e^{x} \right)}}

  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=sin(ex)f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} \right)} y g(x)=cos(ex)g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{x} \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=exu = e^{x}.

    2. La derivada del seno es igual al coseno:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxex\frac{d}{d x} e^{x}:

      1. Derivado exe^{x} es.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      excos(ex)e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=exu = e^{x}.

    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      dducos(u)=sin(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxex\frac{d}{d x} e^{x}:

      1. Derivado exe^{x} es.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      exsin(ex)- e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    exsin2(ex)+excos2(ex)cos2(ex)\frac{e^{x} \sin^{2}{\left(e^{x} \right)} + e^{x} \cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}

  3. Simplificamos:

    excos2(ex)\frac{e^{x}}{\cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}


Respuesta:

excos2(ex)\frac{e^{x}}{\cos^{2}{\left(e^{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-101020000000-10000000
Primera derivada [src]
/       2/ x\\  x
\1 + tan \E //*e 
(tan2(ex)+1)ex\left(\tan^{2}{\left(e^{x} \right)} + 1\right) e^{x}
Segunda derivada [src]
/       2/ x\\ /       x    / x\\  x
\1 + tan \E //*\1 + 2*e *tan\E //*e 
(2extan(ex)+1)(tan2(ex)+1)ex\left(2 e^{x} \tan{\left(e^{x} \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(e^{x} \right)} + 1\right) e^{x}
Tercera derivada [src]
/       2/ x\\ /      /       2/ x\\  2*x        2/ x\  2*x      x    / x\\  x
\1 + tan \E //*\1 + 2*\1 + tan \E //*e    + 4*tan \E /*e    + 6*e *tan\E //*e 
(tan2(ex)+1)(2(tan2(ex)+1)e2x+4e2xtan2(ex)+6extan(ex)+1)ex\left(\tan^{2}{\left(e^{x} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\tan^{2}{\left(e^{x} \right)} + 1\right) e^{2 x} + 4 e^{2 x} \tan^{2}{\left(e^{x} \right)} + 6 e^{x} \tan{\left(e^{x} \right)} + 1\right) e^{x}
Gráfico
Derivada de tan(e^x)