Derivada de y=cscx-(⅓csc³x)

1. diferenciamos $- \frac{\csc^{3}{\left(x \right)}}{3} + \csc{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\csc{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   5. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \csc{\left(x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \csc{\left(x \right)}$:

         1. La derivada de la cosecante es igual a menos la cosecante de la función por la cotangente de la función:

            $\frac{d}{d x} \csc{\left(x \right)} = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{3 \cos{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{\cos{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\cos{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}$