Derivada de x*sin(ln(x/2))+cos(2*x)

1. diferenciamos $x \sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \cos{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \log{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{1}{x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{x}$

      Como resultado de: $\sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

   2. Sustituimos $u = 2 x$.

   3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$

Respuesta:

$- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$