Derivada de x*(x^4-2*x-1/x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x \left(x^{4} - 2 x\right) - 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x \left(x^{4} - 2 x\right) - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x \left(x^{4} - 2 x\right) - 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

         2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = x^{4} - 2 x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $x^{4} - 2 x$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-2$

               Como resultado de: $4 x^{3} - 2$

            Como resultado de: $x^{4} + x \left(4 x^{3} - 2\right) - 2 x$

         Como resultado de: $x^{4} + x \left(4 x^{3} - 2\right) - 2 x$

      Como resultado de: $x \left(x^{4} - 2 x\right) + x \left(x^{4} + x \left(4 x^{3} - 2\right) - 2 x\right) - 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(x \left(x^{4} - 2 x\right) - 1\right) + x \left(x \left(x^{4} - 2 x\right) + x \left(x^{4} + x \left(4 x^{3} - 2\right) - 2 x\right) - 1\right)}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $x \left(5 x^{3} - 4\right)$

Respuesta:

$x \left(5 x^{3} - 4\right)$