Derivada de (x-sinx)/(x-tgx)

Solución

Ha introducido [src]

x - sin(x)
----------
x - tan(x)

$$\frac{x - \sin{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}}$$

(x - sin(x))/(x - tan(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x - \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x - \tan{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $1 - \cos{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Entonces, como resultado: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right) \left(x - \tan{\left(x \right)}\right) - \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{- x \cos^{3}{\left(x \right)} + x - 2 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- x \cos^{3}{\left(x \right)} + x - 2 \sin^{3}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right)^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

                2                
1 - cos(x)   tan (x)*(x - sin(x))
---------- + --------------------
x - tan(x)                  2    
                (x - tan(x))

$$\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}} + \frac{\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

                                           /                  3     \                
                                           |       2       tan (x)  |                
       2                    2*(x - sin(x))*|1 + tan (x) + ----------|*tan(x)         
  2*tan (x)*(-1 + cos(x))                  \              x - tan(x)/                
- ----------------------- + ------------------------------------------------ + sin(x)
         x - tan(x)                            x - tan(x)                            
-------------------------------------------------------------------------------------
                                      x - tan(x)

$$\frac{\frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}} + \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}}}{x - \tan{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

               /             2                                    6             3    /       2   \\                                                                                
               |/       2   \         2    /       2   \     3*tan (x)     6*tan (x)*\1 + tan (x)/|                                      /                  3     \                
2*(x - sin(x))*|\1 + tan (x)/  + 2*tan (x)*\1 + tan (x)/ + ------------- + -----------------------|                                      |       2       tan (x)  |                
               |                                                       2          x - tan(x)      |        2             6*(-1 + cos(x))*|1 + tan (x) + ----------|*tan(x)         
               \                                           (x - tan(x))                           /   3*tan (x)*sin(x)                   \              x - tan(x)/                
--------------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------- - ------------------------------------------------- + cos(x)
                                             x - tan(x)                                                  x - tan(x)                          x - tan(x)                            
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                     x - tan(x)

$$\frac{\frac{2 \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{3}{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}} + \frac{3 \tan^{6}{\left(x \right)}}{\left(x - \tan{\left(x \right)}\right)^{2}}\right)}{x - \tan{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)} - \frac{6 \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1 + \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}}\right) \tan{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}} + \frac{3 \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}{x - \tan{\left(x \right)}}}{x - \tan{\left(x \right)}}$$

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¿Cómo usar?

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Solución