Derivada de y=ctg(cosx/5)

Solución

Ha introducido [src]

   /cos(x)\
cot|------|
   \  5   /

$$\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$$

cot(cos(x)/5)

Solución detallada

Hay varias formas de calcular esta derivada.
Method #1
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ .
3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ :
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{\cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ .
    2. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Entonces, como resultado: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ .
    2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ :
      
      La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Entonces, como resultado: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
Method #2
1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
  
  $\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{\sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ .
  2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Entonces, como resultado: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ .
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}$ :
    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Entonces, como resultado: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{\frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 /        2/cos(x)\\        
-|-1 - cot |------||*sin(x) 
 \         \  5   //        
----------------------------
             5

$$- \frac{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{5}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

/       2/cos(x)\\ /                2       /cos(x)\\
|1 + cot |------||*|5*cos(x) + 2*sin (x)*cot|------||
\        \  5   // \                        \  5   //
-----------------------------------------------------
                          25

$$\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right)}{25}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/       2/cos(x)\\ /           2    /       2/cos(x)\\        2/cos(x)\    2                   /cos(x)\\       
|1 + cot |------||*|-25 + 2*sin (x)*|1 + cot |------|| + 4*cot |------|*sin (x) + 30*cos(x)*cot|------||*sin(x)
\        \  5   // \                \        \  5   //         \  5   /                        \  5   //       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      125

$$\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 30 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} - 25\right) \sin{\left(x \right)}}{125}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=ctg(cosx/5)

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2