Sr Examen

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y=ctg(cosx/5)
Derivada de la función/ y=ctg/ y=ctg(cosx/5)

Derivada de y=ctg(cosx/5)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /cos(x)\
cot|------|
   \  5   /
cot⁡(cos⁡(x)5)\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} 
cot(cos(x)/5)
Solución detallada

  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

    Method #1

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot⁡(cos⁡(x)5)=1tan⁡(cos⁡(x)5)\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

    2. Sustituimos u=tan⁡(cos⁡(x)5)u = \tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}.

    3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(cos⁡(x)5)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        tan⁡(cos⁡(x)5)=sin⁡(cos⁡(x)5)cos⁡(cos⁡(x)5)\tan{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{\cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=sin⁡(cos⁡(x)5)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} y g(x)=cos⁡(cos⁡(x)5)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=cos⁡(x)5u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)5\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Entonces, como resultado: −sin⁡(x)5- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡(x)cos⁡(cos⁡(x)5)5- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=cos⁡(x)5u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}.

        2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)5\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Entonces, como resultado: −sin⁡(x)5- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          sin⁡(x)sin⁡(cos⁡(x)5)5\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡(x)sin⁡2(cos⁡(x)5)5−sin⁡(x)cos⁡2(cos⁡(x)5)5cos⁡2(cos⁡(x)5)\frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −−sin⁡(x)sin⁡2(cos⁡(x)5)5−sin⁡(x)cos⁡2(cos⁡(x)5)5cos⁡2(cos⁡(x)5)tan⁡2(cos⁡(x)5)- \frac{- \frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

    Method #2

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      cot⁡(cos⁡(x)5)=cos⁡(cos⁡(x)5)sin⁡(cos⁡(x)5)\cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{\sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=cos⁡(cos⁡(x)5)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} y g(x)=sin⁡(cos⁡(x)5)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=cos⁡(x)5u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)5\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Entonces, como resultado: −sin⁡(x)5- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin⁡(x)sin⁡(cos⁡(x)5)5\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=cos⁡(x)5u = \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)5\frac{d}{d x} \frac{\cos{\left(x \right)}}{5}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Entonces, como resultado: −sin⁡(x)5- \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡(x)cos⁡(cos⁡(x)5)5- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin⁡(x)sin⁡2(cos⁡(x)5)5+sin⁡(x)cos⁡2(cos⁡(x)5)5sin⁡2(cos⁡(x)5)\frac{\frac{\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}{5}}{\sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

  2. Simplificamos:

    sin⁡(x)5sin⁡2(cos⁡(x)5)\frac{\sin{\left(x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

Respuesta:

sin⁡(x)5sin⁡2(cos⁡(x)5)\frac{\sin{\left(x \right)}}{5 \sin^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
 /        2/cos(x)\\        
-|-1 - cot |------||*sin(x) 
 \         \  5   //        
----------------------------
             5
−(−cot⁡2(cos⁡(x)5)−1)sin⁡(x)5- \frac{\left(- \cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}}{5}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
/       2/cos(x)\\ /                2       /cos(x)\\
|1 + cot |------||*|5*cos(x) + 2*sin (x)*cot|------||
\        \  5   // \                        \  5   //
-----------------------------------------------------
                          25
(2sin⁡2(x)cot⁡(cos⁡(x)5)+5cos⁡(x))(cot⁡2(cos⁡(x)5)+1)25\frac{\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right)}{25}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/       2/cos(x)\\ /           2    /       2/cos(x)\\        2/cos(x)\    2                   /cos(x)\\       
|1 + cot |------||*|-25 + 2*sin (x)*|1 + cot |------|| + 4*cot |------|*sin (x) + 30*cos(x)*cot|------||*sin(x)
\        \  5   // \                \        \  5   //         \  5   /                        \  5   //       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      125
(cot⁡2(cos⁡(x)5)+1)(2(cot⁡2(cos⁡(x)5)+1)sin⁡2(x)+4sin⁡2(x)cot⁡2(cos⁡(x)5)+30cos⁡(x)cot⁡(cos⁡(x)5)−25)sin⁡(x)125\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right) \left(2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 1\right) \sin^{2}{\left(x \right)} + 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} + 30 \cos{\left(x \right)} \cot{\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{5} \right)} - 25\right) \sin{\left(x \right)}}{125}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctg(cosx/5)
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