Sr Examen

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((1+x^2)/(1+x))^5
Derivada de la función/ 1+x^2/ (1+x)/ ((1+x^2)/(1+x))^5

Derivada de ((1+x^2)/(1+x))^5

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        5
/     2\ 
|1 + x | 
|------| 
\1 + x /
(x2+1x+1)5\left(\frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right)^{5} 
((1 + x^2)/(1 + x))^5
Solución detallada

  1. Sustituimos u=x2+1x+1u = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}.

  2. Según el principio, aplicamos: u5u^{5} tenemos 5u45 u^{4}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2+1x+1\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 1}{x + 1}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=x2+1f{\left(x \right)} = x^{2} + 1 y g(x)=x+1g{\left(x \right)} = x + 1.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos x2+1x^{2} + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Como resultado de: 2x2 x

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos x+1x + 1 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        Como resultado de: 11

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −x2+2x(x+1)−1(x+1)2\frac{- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right) - 1}{\left(x + 1\right)^{2}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    5(x2+1)4(−x2+2x(x+1)−1)(x+1)6\frac{5 \left(x^{2} + 1\right)^{4} \left(- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right) - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{6}}

Respuesta:

5(x2+1)4(−x2+2x(x+1)−1)(x+1)6\frac{5 \left(x^{2} + 1\right)^{4} \left(- x^{2} + 2 x \left(x + 1\right) - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{6}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-400000000200000000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
        5                               
/     2\          /    /     2\        \
\1 + x /          |  5*\1 + x /    10*x|
---------*(1 + x)*|- ---------- + -----|
        5         |          2    1 + x|
 (1 + x)          \   (1 + x)          /
----------------------------------------
                      2                 
                 1 + x
(x2+1)5(x+1)5(x+1)(10xx+1−5(x2+1)(x+1)2)x2+1\frac{\frac{\left(x^{2} + 1\right)^{5}}{\left(x + 1\right)^{5}} \left(x + 1\right) \left(\frac{10 x}{x + 1} - \frac{5 \left(x^{2} + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x^{2} + 1}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
            /                                                                                      /           2\\
            |                2                                                            /     2\ |      1 + x ||
          3 |  /           2\        /           2\              /          2         \   \1 + x /*|2*x - ------||
  /     2\  |  |      1 + x |        |      1 + x |     /     2\ |     1 + x      2*x |            \      1 + x /|
5*\1 + x / *|5*|2*x - ------|  - 2*x*|2*x - ------| + 2*\1 + x /*|1 + -------- - -----| + -----------------------|
            |  \      1 + x /        \      1 + x /              |           2   1 + x|            1 + x         |
            \                                                    \    (1 + x)         /                          /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            5                                                     
                                                     (1 + x)
5(x2+1)3(−2x(2x−x2+1x+1)+5(2x−x2+1x+1)2+2(x2+1)(−2xx+1+1+x2+1(x+1)2)+(2x−x2+1x+1)(x2+1)x+1)(x+1)5\frac{5 \left(x^{2} + 1\right)^{3} \left(- 2 x \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) + 5 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) + \frac{\left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x + 1}\right)}{\left(x + 1\right)^{5}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
            /                                                                                                                                                    2 /          2         \                                                2                                                                                                                                   \
            |                                                                                                                                            /     2\  |     1 + x      2*x |             2 /           2\     /           2\                                                                                                                      /           2\|
            |                                            2                                                 /                     2                \   12*\1 + x / *|1 + -------- - -----|     /     2\  |      1 + x |     |      1 + x |  /     2\                                                                                                   /     2\ |      1 + x ||
          2 |        /           2\        /           2\               /           2\      /           2\ |             /     2\         /     2\|                |           2   1 + x|   5*\1 + x / *|2*x - ------|   5*|2*x - ------| *\1 + x /               /           2\ /          2         \                 /          2         \   16*x*\1 + x /*|2*x - ------||
  /     2\  |      2 |      1 + x |        |      1 + x |      /     2\ |      1 + x |      |      1 + x | |       2   3*\1 + x /    10*x*\1 + x /|                \    (1 + x)         /               \      1 + x /     \      1 + x /                /     2\ |      1 + x | |     1 + x      2*x |        /     2\ |     1 + x      2*x |                 \      1 + x /|
5*\1 + x / *|- 12*x *|2*x - ------| - 10*x*|2*x - ------|  - 2*\1 + x /*|2*x - ------| + 10*|2*x - ------|*|1 + 9*x  + ----------- - -------------| - ----------------------------------- - -------------------------- + -------------------------- + 10*\1 + x /*|2*x - ------|*|1 + -------- - -----| + 12*x*\1 + x /*|1 + -------- - -----| + ----------------------------|
            |        \      1 + x /        \      1 + x /               \      1 + x /      \      1 + x / |                    2        1 + x    |                  1 + x                                  2                      1 + x                          \      1 + x / |           2   1 + x|                 |           2   1 + x|              1 + x            |
            \                                                                                              \             (1 + x)                  /                                                  (1 + x)                                                                     \    (1 + x)         /                 \    (1 + x)         /                               /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                          5                                                                                                                                                                                   
                                                                                                                                                                                   (1 + x)
5(x2+1)2(−12x2(2x−x2+1x+1)−10x(2x−x2+1x+1)2+12x(x2+1)(−2xx+1+1+x2+1(x+1)2)+16x(2x−x2+1x+1)(x2+1)x+1+10(2x−x2+1x+1)(x2+1)(−2xx+1+1+x2+1(x+1)2)−2(2x−x2+1x+1)(x2+1)+10(2x−x2+1x+1)(9x2−10x(x2+1)x+1+1+3(x2+1)2(x+1)2)+5(2x−x2+1x+1)2(x2+1)x+1−12(x2+1)2(−2xx+1+1+x2+1(x+1)2)x+1−5(2x−x2+1x+1)(x2+1)2(x+1)2)(x+1)5\frac{5 \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(- 12 x^{2} \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) - 10 x \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right)^{2} + 12 x \left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) + \frac{16 x \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)}{x + 1} + 10 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right) \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) - 2 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right) + 10 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(9 x^{2} - \frac{10 x \left(x^{2} + 1\right)}{x + 1} + 1 + \frac{3 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) + \frac{5 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right)^{2} \left(x^{2} + 1\right)}{x + 1} - \frac{12 \left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 1 + \frac{x^{2} + 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{x + 1} - \frac{5 \left(2 x - \frac{x^{2} + 1}{x + 1}\right) \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{5}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de ((1+x^2)/(1+x))^5
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