Derivada de x*sin^5*x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $5 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $5 x \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin^{5}{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(5 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)}$

Respuesta:

$\left(5 x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \sin^{4}{\left(x \right)}$