Derivada de y=xln^25x-lnsinx

Solución

Ha introducido [src]

     2                   
x*log (5*x) - log(sin(x))

$$x \log{\left(5 x \right)}^{2} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$$

x*log(5*x)^2 - log(sin(x))

Solución detallada

diferenciamos $x \log{\left(5 x \right)}^{2} - \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$ miembro por miembro:
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(5 x \right)}^{2}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = \log{\left(5 x \right)}$ .
  2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(5 x \right)}$ :
    1. Sustituimos $u = 5 x$ .
    2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$ :
      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
        
        Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
        
        Entonces, como resultado: $5$
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $\frac{1}{x}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{2 \log{\left(5 x \right)}}{x}$
  Como resultado de: $\log{\left(5 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(5 x \right)}$
2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
  1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$ .
  2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  Entonces, como resultado: $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $\log{\left(5 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(5 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(25 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(25 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + \log{\left(25 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(5 \right)}^{2} + \log{\left(25 \right)} - \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

   2                     cos(x)
log (5*x) + 2*log(5*x) - ------
                         sin(x)

$$\log{\left(5 x \right)}^{2} + 2 \log{\left(5 x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

           2                
    2   cos (x)   2*log(5*x)
1 + - + ------- + ----------
    x      2          x     
        sin (x)

$$1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \log{\left(5 x \right)}}{x} + \frac{2}{x}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

   /              3            \
   |log(5*x)   cos (x)   cos(x)|
-2*|-------- + ------- + ------|
   |    2         3      sin(x)|
   \   x       sin (x)         /

$$- 2 \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(5 x \right)}}{x^{2}}\right)$$

Simplificar

Gráfico

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¿Cómo usar?

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Gráfico:

Definida a trozos:

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