Derivada de y=5^xcos2x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 5^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left(5 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 \cdot 5^{x} \sin{\left(2 x \right)} + 5^{x} \log{\left(5 \right)} \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $5^{x} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \log{\left(5 \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)$

Respuesta:

$5^{x} \left(- 2 \sin{\left(2 x \right)} + \log{\left(5 \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)$