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y=ln((x-5)^2/(x-4)^3)

Derivada de y=ln((x-5)^2/(x-4)^3)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /       2\
   |(x - 5) |
log|--------|
   |       3|
   \(x - 4) /
log((x5)2(x4)3)\log{\left(\frac{\left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{3}} \right)}
log((x - 5)^2/(x - 4)^3)
Solución detallada
  1. Sustituimos u=(x5)2(x4)3u = \frac{\left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{3}}.

  2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x5)2(x4)3\frac{d}{d x} \frac{\left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{3}}:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=(x5)2f{\left(x \right)} = \left(x - 5\right)^{2} y g(x)=(x4)3g{\left(x \right)} = \left(x - 4\right)^{3}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x5u = x - 5.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x5)\frac{d}{d x} \left(x - 5\right):

        1. diferenciamos x5x - 5 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 5-5 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2x102 x - 10

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x4u = x - 4.

      2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x4)\frac{d}{d x} \left(x - 4\right):

        1. diferenciamos x4x - 4 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 4-4 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Como resultado de: 11

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        3(x4)23 \left(x - 4\right)^{2}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      3(x5)2(x4)2+(x4)3(2x10)(x4)6\frac{- 3 \left(x - 5\right)^{2} \left(x - 4\right)^{2} + \left(x - 4\right)^{3} \left(2 x - 10\right)}{\left(x - 4\right)^{6}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    (x4)3(3(x5)2(x4)2+(x4)3(2x10))(x5)2(x4)6\frac{\left(x - 4\right)^{3} \left(- 3 \left(x - 5\right)^{2} \left(x - 4\right)^{2} + \left(x - 4\right)^{3} \left(2 x - 10\right)\right)}{\left(x - 5\right)^{2} \left(x - 4\right)^{6}}

  4. Simplificamos:

    7x(x5)(x4)\frac{7 - x}{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}


Respuesta:

7x(x5)(x4)\frac{7 - x}{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-100100
Primera derivada [src]
         /                     2\
       3 |-10 + 2*x   3*(x - 5) |
(x - 4) *|--------- - ----------|
         |        3           4 |
         \ (x - 4)     (x - 4)  /
---------------------------------
                    2            
             (x - 5)             
(x4)3(3(x5)2(x4)4+2x10(x4)3)(x5)2\frac{\left(x - 4\right)^{3} \left(- \frac{3 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{4}} + \frac{2 x - 10}{\left(x - 4\right)^{3}}\right)}{\left(x - 5\right)^{2}}
Segunda derivada [src]
                                                /                           2\
                                                |    6*(-5 + x)   6*(-5 + x) |
    /     3*(-5 + x)\     /     3*(-5 + x)\   2*|1 - ---------- + -----------|
  3*|-2 + ----------|   2*|-2 + ----------|     |      -4 + x              2 |
    \       -4 + x  /     \       -4 + x  /     \                  (-4 + x)  /
- ------------------- + ------------------- + --------------------------------
         -4 + x                -5 + x                      -5 + x             
------------------------------------------------------------------------------
                                    -5 + x                                    
3(3(x5)x42)x4+2(3(x5)x42)x5+2(6(x5)2(x4)26(x5)x4+1)x5x5\frac{- \frac{3 \left(\frac{3 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 2\right)}{x - 4} + \frac{2 \left(\frac{3 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 2\right)}{x - 5} + \frac{2 \left(\frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{6 \left(x - 5\right)}{x - 4} + 1\right)}{x - 5}}{x - 5}
Tercera derivada [src]
  /    /                           2\                                                 /                2              \                           /                           2\\
  |    |    6*(-5 + x)   6*(-5 + x) |                                                 |     10*(-5 + x)    12*(-5 + x)|                           |    6*(-5 + x)   6*(-5 + x) ||
  |  4*|1 - ---------- + -----------|     /     3*(-5 + x)\     /     3*(-5 + x)\   3*|-3 - ------------ + -----------|     /     3*(-5 + x)\   6*|1 - ---------- + -----------||
  |    |      -4 + x              2 |   3*|-2 + ----------|   3*|-2 + ----------|     |              2        -4 + x  |   6*|-2 + ----------|     |      -4 + x              2 ||
  |    \                  (-4 + x)  /     \       -4 + x  /     \       -4 + x  /     \      (-4 + x)                 /     \       -4 + x  /     \                  (-4 + x)  /|
2*|- -------------------------------- - ------------------- - ------------------- + ----------------------------------- + ------------------- + --------------------------------|
  |                     2                            2                     2                 (-5 + x)*(-4 + x)             (-5 + x)*(-4 + x)           (-5 + x)*(-4 + x)        |
  \             (-5 + x)                     (-5 + x)              (-4 + x)                                                                                                     /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                      -5 + x                                                                                     
2(3(3(x5)x42)(x4)2+6(3(x5)x42)(x5)(x4)+3(10(x5)2(x4)2+12(x5)x43)(x5)(x4)+6(6(x5)2(x4)26(x5)x4+1)(x5)(x4)3(3(x5)x42)(x5)24(6(x5)2(x4)26(x5)x4+1)(x5)2)x5\frac{2 \left(- \frac{3 \left(\frac{3 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{6 \left(\frac{3 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 2\right)}{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)} + \frac{3 \left(- \frac{10 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{12 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 3\right)}{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)} + \frac{6 \left(\frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{6 \left(x - 5\right)}{x - 4} + 1\right)}{\left(x - 5\right) \left(x - 4\right)} - \frac{3 \left(\frac{3 \left(x - 5\right)}{x - 4} - 2\right)}{\left(x - 5\right)^{2}} - \frac{4 \left(\frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 4\right)^{2}} - \frac{6 \left(x - 5\right)}{x - 4} + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2}}\right)}{x - 5}
Gráfico
Derivada de y=ln((x-5)^2/(x-4)^3)