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Derivada de la función/ e^(ax)/ x*e^(ax)/(x+4i)^2

Derivada de x*e^(ax)/(x+4i)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     a*x  
  x*E     
----------
         2
(x + 4*I)
eaxx(x+4i)2\frac{e^{a x} x}{\left(x + 4 i\right)^{2}} 
(x*E^(a*x))/(x + 4*i)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xeaxf{\left(x \right)} = x e^{a x} y g(x)=(x+4i)2g{\left(x \right)} = \left(x + 4 i\right)^{2}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=eaxg{\left(x \right)} = e^{a x}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=axu = a x.

      2. Derivado eue^{u} es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂xax\frac{\partial}{\partial x} a x:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: aa

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        aeaxa e^{a x}

      Como resultado de: axeax+eaxa x e^{a x} + e^{a x}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x+4iu = x + 4 i.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x+4i)\frac{d}{d x} \left(x + 4 i\right):

      1. diferenciamos x+4ix + 4 i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. La derivada de una constante 4i4 i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2x+8i2 x + 8 i

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −x(2x+8i)eax+(x+4i)2(axeax+eax)(x+4i)4\frac{- x \left(2 x + 8 i\right) e^{a x} + \left(x + 4 i\right)^{2} \left(a x e^{a x} + e^{a x}\right)}{\left(x + 4 i\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    (−2x+(x+4i)(ax+1))eax(x+4i)3\frac{\left(- 2 x + \left(x + 4 i\right) \left(a x + 1\right)\right) e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{3}}

Respuesta:

(−2x+(x+4i)(ax+1))eax(x+4i)3\frac{\left(- 2 x + \left(x + 4 i\right) \left(a x + 1\right)\right) e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{3}}

Primera derivada [src] 
 a*x        a*x                   a*x
E    + a*x*e      x*(-8*I - 2*x)*e   
--------------- + -------------------
            2                   4    
   (x + 4*I)           (x + 4*I)
x(−2x−8i)eax(x+4i)4+eax+axeax(x+4i)2\frac{x \left(- 2 x - 8 i\right) e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{4}} + \frac{e^{a x} + a x e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
/              4*(1 + a*x)      6*x    \  a*x
|a*(2 + a*x) - ----------- + ----------|*e   
|                x + 4*I              2|     
\                            (x + 4*I) /     
---------------------------------------------
                           2                 
                  (x + 4*I)
(a(ax+2)+6x(x+4i)2−4(ax+1)x+4i)eax(x+4i)2\frac{\left(a \left(a x + 2\right) + \frac{6 x}{\left(x + 4 i\right)^{2}} - \frac{4 \left(a x + 1\right)}{x + 4 i}\right) e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
/ 2                24*x      18*(1 + a*x)   6*a*(2 + a*x)\  a*x
|a *(3 + a*x) - ---------- + ------------ - -------------|*e   
|                        3             2       x + 4*I   |     
\               (x + 4*I)     (x + 4*I)                  /     
---------------------------------------------------------------
                                    2                          
                           (x + 4*I)
(a2(ax+3)−6a(ax+2)x+4i−24x(x+4i)3+18(ax+1)(x+4i)2)eax(x+4i)2\frac{\left(a^{2} \left(a x + 3\right) - \frac{6 a \left(a x + 2\right)}{x + 4 i} - \frac{24 x}{\left(x + 4 i\right)^{3}} + \frac{18 \left(a x + 1\right)}{\left(x + 4 i\right)^{2}}\right) e^{a x}}{\left(x + 4 i\right)^{2}}
Simplificar
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