Derivada de y=ln4xsec5×

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 x$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x}$

   $g{\left(x \right)} = \sec{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\sec{\left(5 x \right)} = \frac{1}{\cos{\left(5 x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(5 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 5 \sin{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{5 \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{5 \log{\left(4 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}}{\cos^{2}{\left(5 x \right)}} + \frac{\sec{\left(5 x \right)}}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5 x \log{\left(4 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}}{x \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{5 x \log{\left(4 x \right)} \sin{\left(5 x \right)} + \cos{\left(5 x \right)}}{x \cos^{2}{\left(5 x \right)}}$