Derivada de y=ctg(3xe^-x)

1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

   Method #1

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(e^{- x} 3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

   2. Sustituimos $u = \tan{\left(e^{- x} 3 x \right)}$.

   3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(e^{- x} 3 x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(e^{- x} 3 x \right)} = \frac{\sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}}{\cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = e^{- x} 3 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x} 3 x$:

            1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 3 x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Derivado $e^{x}$ es.

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = e^{- x} 3 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x} 3 x$:

            1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = 3 x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Derivado $e^{x}$ es.

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)} + \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \cos^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)} + \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \cos^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)} \tan^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

   Method #2

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\cot{\left(e^{- x} 3 x \right)} = \frac{\cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}}{\sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{- x} 3 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x} 3 x$:

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 3 x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \sin{\left(e^{- x} 3 x \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = e^{- x} 3 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} e^{- x} 3 x$:

         1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = 3 x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \cos{\left(e^{- x} 3 x \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \sin^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)} - \left(- 3 x e^{x} + 3 e^{x}\right) e^{- 2 x} \cos^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(e^{- x} 3 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \left(x - 1\right) e^{- x}}{\sin^{2}{\left(3 x e^{- x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{3 \left(x - 1\right) e^{- x}}{\sin^{2}{\left(3 x e^{- x} \right)}}$