Derivada de y=(x^4)/(x+1)^3

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4}$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{3}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \left(x + 1\right)^{2}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- 3 x^{4} \left(x + 1\right)^{2} + 4 x^{3} \left(x + 1\right)^{3}}{\left(x + 1\right)^{6}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{3} \left(x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} \left(x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$